Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để tồn tại các số thực $x$, $y$ thỏa mãn đồng thời ${{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y$ và $\log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0$.
A. $22$.
B. $23$.
C. $19$.
D. 31.
A. $22$.
B. $23$.
C. $19$.
D. 31.
Ta có ${{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=1-2x-2y$
$\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)$
$\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+3x+5y-10={{e}^{x+3y-9}}+x+3y-9$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,t\in \mathbb{R}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\Rightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x$.
Thay vào phương trình thứ 2, ta được
$\begin{aligned}
& \log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\log }_{5}}\left( x+5 \right)=t\left( t\in \mathbb{R},x>-5 \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành
${{t}^{2}}-{{\log }_{2}}5.\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0$ (2).
Tồn tại $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên $\Delta ={{\left( m+6 \right)}^{2}}.\log _{2}^{2}5-4\left( {{m}^{2}}+9 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{2}5-4 \right){{m}^{2}}+12.\log _{2}^{2}5.m-36\left( 1-\log _{2}^{2}5 \right)\ge 0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le {{m}_{1}} \\
& m\ge {{m}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ với $ {{m}_{1}}\approx -43.91 $ và $ {{m}_{2}}\approx -2.58$
Do $m\in \left[ -20;20 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;...;19;20 \right\}$.
Vậy có $23$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}-{{e}^{x+3y-9}}=\left( x+3y-9 \right)-\left( 3x+5y-10 \right)$
$\Leftrightarrow {{e}^{3x+5y-10}}+3x+5y-10={{e}^{x+3y-9}}+x+3y-9$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t,t\in \mathbb{R}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\Rightarrow 3x+5y-10=x+3y-9\Leftrightarrow 2y=1-2x$.
Thay vào phương trình thứ 2, ta được
$\begin{aligned}
& \log _{5}^{2}\left( 3x+2y+4 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \\
& \Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left( x+5 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}\left( x+5 \right)+{{m}^{2}}+9=0 \left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\log }_{5}}\left( x+5 \right)=t\left( t\in \mathbb{R},x>-5 \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành
${{t}^{2}}-{{\log }_{2}}5.\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0$ (2).
Tồn tại $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên $\Delta ={{\left( m+6 \right)}^{2}}.\log _{2}^{2}5-4\left( {{m}^{2}}+9 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( \log _{2}^{2}5-4 \right){{m}^{2}}+12.\log _{2}^{2}5.m-36\left( 1-\log _{2}^{2}5 \right)\ge 0$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le {{m}_{1}} \\
& m\ge {{m}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $ với $ {{m}_{1}}\approx -43.91 $ và $ {{m}_{2}}\approx -2.58$
Do $m\in \left[ -20;20 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;...;19;20 \right\}$.
Vậy có $23$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.