Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -100;100...

Điều kiện xác định $x>0$
Với $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, phương trình không có 2 nghiệm thực dương phân biệt
Với $m\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$, ta có: ${\log }_3{x}^{2m+1}=(m+3)(x-1)\iff f(x)={\log }_{3}x={\displaystyle \frac{m+3}{2m+1}}x-{\displaystyle \frac{m+3}{2m+1}}$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{m+3}{2m+1}}>0\\ & {\displaystyle \frac{m+3}{2m+1}}\ne f^{\prime }(1)\end{array}$ (phương pháp tiếp tuyến và tương giao)
$\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & m<-3\end{array}\\ & {\displaystyle \frac{m+3}{2m+1}}\ne {\displaystyle \frac{1}{\ln 3}}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & m<-3\end{array}\stackrel{m\in [-100;100]}{\to }m\in [-100;-3)\cup (-{\displaystyle \frac{1}{2}};100]$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{\pm 100;\pm 99;...;\pm 4;0;1;2;3\}$ : có 198 giá trị của m thỏa mãn đề bài.