Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -100;100...

Điều kiện xác định $x>0$
Với $m=-\dfrac{1}{2}$, phương trình không có 2 nghiệm thực dương phân biệt
Với $m\ne -\dfrac{1}{2}$, ta có: ${{\log }_{3}}{{x}^{2m+1}}=(m+3)(x-1)\Leftrightarrow f(x)={{\log }_{3}}x=\dfrac{m+3}{2m+1}x-\dfrac{m+3}{2m+1}$
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{m+3}{2m+1}>0 \\
& \dfrac{m+3}{2m+1}\ne {f}'(1) \\
\end{aligned} \right.$ (phương pháp tiếp tuyến và tương giao)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>-\dfrac{1}{2} \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \dfrac{m+3}{2m+1}\ne \dfrac{1}{\ln 3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>-\dfrac{1}{2} \\
& m<-3 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{m\in \left[ -100;100 \right]}m\in \left[ -100;-3 \right)\cup \left( -\dfrac{1}{2};100 \right]$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ \pm 100;\pm 99;...;\pm 4;0;1;2;3 \right\}$ : có 198 giá trị của m thỏa mãn đề bài.