Google
Câu hỏi: . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình sau nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}:{{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x}}\ge 0$ ?
A. 10.
B. 9.
C. 12.
D. 11
A. 10.
B. 9.
C. 12.
D. 11
+ Chia cả 2 vế của bất phương trình cho ${{2}^{x}}>0$.
+ Đặt $t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)$.
+ Đưa bất phương trình về dạng $m\le f\left( t \right),\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
+ Lập BBT hàm số $y=f\left( t \right)$ và kết luận.
Chia cả 2 vế của bất phương trình cho ${{2}^{x}}>0$ ta được: ${{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right)\ge 0$
Nhận xét: ${{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}{{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=1$, do đó khi ta đặt $t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$.
Phương trình trở thành: $t+\left( 2-m \right)\dfrac{1}{t}-\left( m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2-m\ge 0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left( t \right)\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left( t>0 \right)$, ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
BBT:
Từ BBT $\Rightarrow m\le 1$.
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{R} \\
& m\in \left[ -10;1 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Đặt $t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)$.
+ Đưa bất phương trình về dạng $m\le f\left( t \right),\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
+ Lập BBT hàm số $y=f\left( t \right)$ và kết luận.
Chia cả 2 vế của bất phương trình cho ${{2}^{x}}>0$ ta được: ${{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right)\ge 0$
Nhận xét: ${{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}{{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=1$, do đó khi ta đặt $t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( \dfrac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}$.
Phương trình trở thành: $t+\left( 2-m \right)\dfrac{1}{t}-\left( m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2-m\ge 0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left( t \right)\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left( t>0 \right)$, ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
BBT:
Từ BBT $\Rightarrow m\le 1$.
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{R} \\
& m\in \left[ -10;1 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.