. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10...

+ Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $2^x>0$.
+ Đặt $t={(3+\sqrt{7})}^x(t>0)$.
+ Đưa bất phương trình về dạng $m\le f\left(t\right),\mathrm{\forall }t>0\iff m\le \underset{(0;+\mathrm{\infty })}{min}f\left(t\right)$.
+ Lập BBT hàm số $y=f\left(t\right)$ và kết luận.
Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $2^x>0$ ta được: ${(3+\sqrt{7})}^x+(2-m){\left({\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}}{2}}\right)}^x-(m+1)\ge 0$
Nhận xét: ${(3+\sqrt{7})}^x{\left({\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}}{2}}\right)}^x=1$, do đó khi ta đặt $t={(3+\sqrt{7})}^x(t>0)\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}}{2}}\right)}^x={\displaystyle \frac{1}{t}}$.
Phương trình trở thành: $t+(2-m){\displaystyle \frac{1}{t}}-(m+1)\ge 0\iff t^2-(m+1)t+2-m\ge 0$
$\iff t^2-t+2\ge m(t+1)\iff m\le {\displaystyle \frac{t^2-t+2}{t+1}}=f\left(t\right)\mathrm{\forall }t>0\iff m\le \underset{(0;+\mathrm{\infty })}{min}f\left(t\right)$.
Xét hàm số $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2-t+2}{t+1}}(t>0)$, ta có: $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{(2t-1)(t+1)-t^2+t-2}{{(t+1)}^2}}={\displaystyle \frac{t^2+2t-3}{{(t+1)}^2}}=0\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=-3\end{array}$.
BBT:

Từ BBT $\Rightarrow m\le 1$.
Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{R}\\ & m\in [-10;1]\end{array}\Rightarrow$ có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.