Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( 1;20 \right)$ để $\forall x\in \left( \dfrac{1}{3};1 \right)$ đều là nghiệm của bất
phương trình: $\log {}_{m}x>{{\log }_{x}}m$ ?
A. $18$.
B. $16$.
C. $17$.
D. $0$.
phương trình: $\log {}_{m}x>{{\log }_{x}}m$ ?
A. $18$.
B. $16$.
C. $17$.
D. $0$.
Điều kiện $0<x\ne 1$
$\log {}_{m}x>{{\log }_{x}}m\Leftrightarrow \log {}_{m}x>\dfrac{1}{\log {}_{m}x}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \log {}_{m}x \right)}^{2}}-1}{\log {}_{m}x}>0 (*)$
Do $x\in \left( \dfrac{1}{3};1 \right), m\in \left( 1;20 \right)\Rightarrow {{\log }_{m}}x<0$
Do đó $(*)\Leftrightarrow -1<{{\log }_{m}}x<1\Leftrightarrow \dfrac{1}{m}<x<m$
Để $\forall x\in \left( \dfrac{1}{3};1 \right)$ đều là nghiệm của bất phương trình thì
$\dfrac{1}{m}\le \dfrac{1}{3}<1\le m\Leftrightarrow m\ge 3\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;...;19 \right\}$.
$\log {}_{m}x>{{\log }_{x}}m\Leftrightarrow \log {}_{m}x>\dfrac{1}{\log {}_{m}x}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( \log {}_{m}x \right)}^{2}}-1}{\log {}_{m}x}>0 (*)$
Do $x\in \left( \dfrac{1}{3};1 \right), m\in \left( 1;20 \right)\Rightarrow {{\log }_{m}}x<0$
Do đó $(*)\Leftrightarrow -1<{{\log }_{m}}x<1\Leftrightarrow \dfrac{1}{m}<x<m$
Để $\forall x\in \left( \dfrac{1}{3};1 \right)$ đều là nghiệm của bất phương trình thì
$\dfrac{1}{m}\le \dfrac{1}{3}<1\le m\Leftrightarrow m\ge 3\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;...;19 \right\}$.
Đáp án C.