Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ${m\in[-10;10]}$ để phương...

Ta có
${\begin{aligned}& \ 2^{3^m}\cdot7^{x^2-2x}+7^{3^m}\cdot2^{x^2-2x}=14^{3^m}\left(7x^2-14x+2-7\cdot3^m\right) \\\Leftrightarrow & \ \dfrac{7^{x^2-2x}}{7^{3^m}}+\dfrac{2^{x^2-2x}}{2^{3^m}}=7x^2-14x+2-7\cdot3^m \\\Leftrightarrow & \ 7^{x^2-2x-3^m}+2^{x^2-2x-3^m}=7\left(x^2-2x-3^m\right)+2. \hspace{1cm} (\ast)\end{aligned}}$
Đặt ${x^2-2x-3^m=a}$.
Khi đó ${(\ast)}$ trở thành ${7^a+2^a=7a+2 \Leftrightarrow 7^a+2^a-7a-2=0}$.
Xét hàm số ${f(a)=7^a+2^a-7a-2}$.
Ta có ${f'(a)=7^a\ln7+2^a\ln2-7}$.
Ta có ${f''(a)=7^a\left(\ln7\right)^2+2^a\left(\ln2\right)^2>0}$, ${\forall a\in\mathbb{R}}$.
Suy ra ${f'(a)}$ đồng biến trên ${\mathbb{R}}$, do đó ${f'(a)=0}$ có tối đa ${1}$ nghiệm.
Mà ${f'(0)=\ln7+\ln2-7<0}$ và ${f'(1)=7\ln7+2\ln2-7>0}$.
Suy ra ${f'(a)=0}$ có nghiệm duy nhất ${a_0\in(0;1)}$.
Suy ra ${f(a)=0}$ có tối đa ${2}$ nghiệm.
Bảng biến thiên của ${y=f(a)}$
Từ bảng biến thiên ta có ${f(a)=0}$ có đúng ${2}$ nghiệm ${a=0}$ và ${a=1}$.
Từ đó ${\left[\begin{aligned} & a=x^2-2x-3^m=0 \\ & a=x^2-2x-3^m=1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 3^m=x^2-2x \\ & 3^m=x^2-2x-1.\end{aligned}\right. \hspace{1cm} (\ast\ast)}$
Để ${(\ast)}$ có ${4}$ nghiệm thực phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn ${-1}$ thì ${(\ast\ast)}$ có ${4}$ nghiệm thực phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn ${-1}$ hay tương đương với đồ thị hàm số ${y=3^m}$ cắt đồ thị các hàm số ${y=x^2-2x}$ và ${y=x^2-2x-1}$ tại ${4}$ điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn ${-1}$.
Dựa vào đồ thị ta có ${3^m\geq3 \Leftrightarrow m\geq1}$.
Suy ra ${m\in\{1;2;\ldots;10\}}$.
Vậy có ${10}$ giá trị của ${m}$ thỏa mãn bài toán.