Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 4$ ?
A. Vô số.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
A. Vô số.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ liên tục trên [1; 3]
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\notin \left[ 1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $f\left( 2 \right)=m-4;f\left( 0 \right)=m;f\left( 3 \right)=m$.
Ta thấy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=m$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=m-4$.
Ta có $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$.
Cách 1:
- Trường hợp 1:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|\le \left| m-4 \right| \\
& \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}=\left| m-4 \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\le {{m}^{2}}-8m+16 \\
& -4\le m-4\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 2 \\
& 0\le m\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 2,$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
- Trường hợp 2:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|>\left| m-4 \right| \\
& \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}=\left| m \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}>{{m}^{2}}-8m+16 \\
& -4\le m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& -4\le m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 4,$
mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3,4 \right\}$.
Do đó có 5 giá trị nguyên của tham số m.
Cách 2:
Ta có: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 4\Leftrightarrow \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|\le 4 \\
& \left| m-4 \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4\le m\le 4 \\
& 0\le m\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4 $, mà $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m.
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\notin \left[ 1;3 \right] \\
& x=2\in \left[ 1;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $f\left( 2 \right)=m-4;f\left( 0 \right)=m;f\left( 3 \right)=m$.
Ta thấy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=m$ và $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=m-4$.
Ta có $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$.
Cách 1:
- Trường hợp 1:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|\le \left| m-4 \right| \\
& \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}=\left| m-4 \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\le {{m}^{2}}-8m+16 \\
& -4\le m-4\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 2 \\
& 0\le m\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 2,$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
- Trường hợp 2:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|>\left| m-4 \right| \\
& \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}=\left| m \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}>{{m}^{2}}-8m+16 \\
& -4\le m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& -4\le m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 4,$
mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3,4 \right\}$.
Do đó có 5 giá trị nguyên của tham số m.
Cách 2:
Ta có: $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 4\Leftrightarrow \max \left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|\le 4 \\
& \left| m-4 \right|\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4\le m\le 4 \\
& 0\le m\le 8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4 $, mà $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m.
Đáp án D.