Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để trên tập số phức...

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-2 \right)=m+2$.
TH1: Nếu $\Delta >0\Leftrightarrow m>-2$ thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2m \\
& {{z}_{1}}\text{. }{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}\text{+}{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=40$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-m-2 \right)+2\left| {{m}^{2}}-m-2 \right|=40$
$\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-2 \right|=18-{{m}^{2}}-m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-2=18-{{m}^{2}}-m \\
& {{m}^{2}}-m-2=-18+{{m}^{2}}+m \\
\end{aligned} \right. \\
& 18-{{m}^{2}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=10 \\
& m=8 \\
\end{aligned} \right. \\
& 18-{{m}^{2}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{10}$.
Kết hợp điều kiện suy ra $m=\sqrt{10}$.
TH2: Nếu $\Delta <0\Leftrightarrow m<-2$ thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1,2}}=-m\pm i\sqrt{-m-2}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}} \right|\text{=}\left| {{z}_{2}} \right|$ suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|\text{=}\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( -m \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-m-2} \right)}^{2}}}=\sqrt{10}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện thì $m=-3$.
Vậy có $1$ giá trị nguyên của $m$ thoả mãn đầu bài.