Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tồn tại cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{\text{e}}^{3x+5y}}-{{\text{e}}^{x+3y+1}}=1-2x-2y$, đồng thời thỏa mãn $\log _{3}^{2}\left( 3x+2y-1 \right)-\left( m+6 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+9=0$.
A. $6$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
A. $6$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.
Ta có: ${{\text{e}}^{3x+5y}}-{{\text{e}}^{x+3y+1}}=1-2x-2y$ $\Leftrightarrow {{\text{e}}^{3x+5y}}+\left( 3x+5y \right)={{\text{e}}^{x+3y+1}}+\left( x+3y+1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình có dạng: $f\left( 3x+5y \right)=f\left( x+3y+1 \right)$ $\Leftrightarrow 3x+5y=x+3y+1$ $\Leftrightarrow 2y=1-2x$.
Thế vào phương trình còn lại ta được: $\log _{3}^{2}x-\left( m+6 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+9=0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, phương trình có dạng: ${{t}^{2}}-\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0$.
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \ge 0\Leftrightarrow $ $-3{{m}^{2}}+12m\ge 0$ $\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Do đó có $5$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t$ trên $\mathbb{R}$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình có dạng: $f\left( 3x+5y \right)=f\left( x+3y+1 \right)$ $\Leftrightarrow 3x+5y=x+3y+1$ $\Leftrightarrow 2y=1-2x$.
Thế vào phương trình còn lại ta được: $\log _{3}^{2}x-\left( m+6 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+9=0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, phương trình có dạng: ${{t}^{2}}-\left( m+6 \right)t+{{m}^{2}}+9=0$.
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \ge 0\Leftrightarrow $ $-3{{m}^{2}}+12m\ge 0$ $\Leftrightarrow 0\le m\le 4$.
Do đó có $5$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.