Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình
${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+3){{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ có nghiệm thực?
A. 7.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+3){{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ có nghiệm thực?
A. 7.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Tập xác định: $D=\left[ -1;1 \right]$
Đặt $t={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow {t}'=\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}.\ln 3$
${t}'=0\Leftrightarrow x=0$
BBT của t:
Vậy $t\in \left[ 3;9 \right]$.
Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-(m+3)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-{{t}^{2}}+3t-1}{2-t}$.
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}+3t-1}{2-t};\ \ t\in \left[ 3;9 \right]$.
Ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+7}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}>0\ ;\ \forall t\in \left[ 3;9 \right]$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 3;9 \right]$.
Vậy $f\left( 3 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 9 \right)\Leftrightarrow 1\le f\left( t \right)\le \dfrac{55}{7}$.
Để phương trình có nghiệm thì: $m\in \left[ 1;\dfrac{55}{7} \right]\xrightarrow{m\ \in \ \mathbb{Z}}m=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Kết luận: có 7 giá trị nguyên của m.
Đặt $t={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow {t}'=\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}.\ln 3$
${t}'=0\Leftrightarrow x=0$
BBT của t:
Vậy $t\in \left[ 3;9 \right]$.
Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-(m+3)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-{{t}^{2}}+3t-1}{2-t}$.
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}+3t-1}{2-t};\ \ t\in \left[ 3;9 \right]$.
Ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-4t+7}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}>0\ ;\ \forall t\in \left[ 3;9 \right]$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 3;9 \right]$.
Vậy $f\left( 3 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 9 \right)\Leftrightarrow 1\le f\left( t \right)\le \dfrac{55}{7}$.
Để phương trình có nghiệm thì: $m\in \left[ 1;\dfrac{55}{7} \right]\xrightarrow{m\ \in \ \mathbb{Z}}m=\left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Kết luận: có 7 giá trị nguyên của m.
Đáp án A.