Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình...

Điều kiện $x>0$.
Phương trình tương đương ${{x}^{2}}+m={{\log }_{4}}3\left( \ln x+{{m}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{\log }_{4}}3\ln x={{\log }_{4}}3{{m}^{2}}-m$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-{{\log }_{4}}3\ln x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x-\dfrac{{{\log }_{4}}3}{x}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{{{\log }_{2}}3}}{2}={{x}_{0}}$
Để phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}+m}}={{3}^{\ln x+{{m}^{2}}}}$ vô nghiệm thì ${{\log }_{4}}3{{m}^{2}}-m<f\left( {{x}_{0}} \right)$ mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ 0;1 \right\}$.