Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt[3]{3m+27\sqrt[3]{3m+{{27.2}^{x}}}}={{2}^{x}}$ có nghiệm thực ?
A. Không tồn tại m
B. 6
C. Vô số
D. 4
A. Không tồn tại m
B. 6
C. Vô số
D. 4
HD: Đặt $t={{2}^{x}}>0,$ ta được $\sqrt[3]{3m+27\sqrt[3]{3m+27t}}=t\Leftrightarrow 3m+27\sqrt[3]{3m+27t}={{t}^{3}}$
Đặt $\sqrt[3]{3m+27t}=u\Rightarrow $ hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 3m+27u={{t}^{3}} \\
& 3m+27t={{u}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{t}^{3}}+27t={{u}^{3}}+27u$
$\Leftrightarrow t=u$ (vì hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}+27a$ đồng biến) $\Leftrightarrow \sqrt[3]{3m+27t}=t\Leftrightarrow 3m={{t}^{3}}-27t$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}-27t$ trên $\left( 0;+\infty \right),$ có ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=3$
Dựa vào bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right),$ để $3m=g\left( t \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow 3m\ge -54\Leftrightarrow m\ge -27$
Đặt $\sqrt[3]{3m+27t}=u\Rightarrow $ hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 3m+27u={{t}^{3}} \\
& 3m+27t={{u}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{t}^{3}}+27t={{u}^{3}}+27u$
$\Leftrightarrow t=u$ (vì hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}+27a$ đồng biến) $\Leftrightarrow \sqrt[3]{3m+27t}=t\Leftrightarrow 3m={{t}^{3}}-27t$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}-27t$ trên $\left( 0;+\infty \right),$ có ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=3$
Dựa vào bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right),$ để $3m=g\left( t \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow 3m\ge -54\Leftrightarrow m\ge -27$
Đáp án C.