Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\sqrt[3]{3 m + 27 \sqrt[3]{3 m + {27.2}^{x}}} = 2^{x}

có nghiệm thực ?
A. Không tồn tại m
B. 6
C. Vô số
D. 4

HD: Đặt

t = 2^{x} > 0,

ta được

\sqrt[3]{3 m + 27 \sqrt[3]{3 m + 27 t}} = t \Leftrightarrow 3 m + 27 \sqrt[3]{3 m + 27 t} = t^{3}

Đặt

\sqrt[3]{3 m + 27 t} = u \Rightarrow

hệ phương trình

{\begin{aligned} 3 m + 27 u = t^{3} \\ 3 m + 27 t = u^{3} \end{aligned} \Rightarrow t^{3} + 27 t = u^{3} + 27 u

\Leftrightarrow t = u

(vì hàm số

f (a) = a^{3} + 27 a

đồng biến)

\Leftrightarrow \sqrt[3]{3 m + 27 t} = t \Leftrightarrow 3 m = t^{3} - 27 t

Xét hàm số

g (t) = t^{3} - 27 t

trên

(0; + \infty),

có

g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 3

Dựa vào bảng biến thiên hàm số

g (t),

để

3 m = g (t)

có nghiệm

\Leftrightarrow 3 m \geq - 54 \Leftrightarrow m \geq - 27

Đáp án C.