Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có 3 nghiệm phân biệt?
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
Theo bài, ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=m\text{ }\left( 1 \right)$
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=m.$
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x;y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên:
Phương trình $\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y\left( 2 \right)<m<y\left( 0 \right)\Leftrightarrow -4<m<0.$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}.$
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=m.$
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x;y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên:
Phương trình $\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y\left( 2 \right)<m<y\left( 0 \right)\Leftrightarrow -4<m<0.$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1 \right\}.$
Đáp án A.