Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình sau có...

Giả thiết $\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3\sin x}}}+{{\sin }^{3}}x-6{{\sin }^{2}}x+9\sin x+m=8+{{2}^{2-\sin x}} \\
& \Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3\sin x}}}+m-3\sin x={{2}^{2-\sin x}}+{{\left( 2-\sin x \right)}^{3}}\Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{m-3\sin x} \right)=f\left( 2-\sin x \right) \left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+{{t}^{3}}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3\sin x}=2-\sin x\Leftrightarrow m=-{{\sin }^{3}}x+6{{\sin }^{2}}x-9\sin x+8$.
Đặt $a=\sin x\in \left[ -1;1 \right]$, ta được $m=g\left( a \right)=-{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}-9a+8$.
Xét hàm số $g\left( a \right)=-{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}-9a+8$ trên $\left[ -1;1 \right]$, có $g'\left( a \right)=-3{{a}^{2}}+12a-9$.
Phương trình $g'\left( a \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le a\le 1 \\
& {{a}^{2}}-4a+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=1 $. Tính $ g\left( 1 \right)=4;\ g\left( -1 \right)=24$.
Để $m=g\left( a \right)$ có nghiệm thực khi $4\le a\le 24\Rightarrow $ có 21 số nguyên m.