Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _{2}^{2}\left( 4x \right)-m{{\log }_{\sqrt{2}}}x-2m-4=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;8 \right]$ ?
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $5$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $5$.
ĐK: $x>0$.
${{\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2m{{\log }_{2}}x-2m-4=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+4{{\log }_{2}}x=2m\left( {{\log }_{2}}x+1 \right)\ \ \left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x;\ x\in \left[ 1;8 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;3 \right]$ ;
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{t+1}=2m\quad \left( 2 \right)$
PT (1) có nghiệm $x>0$ khi và chỉ khi (2) có nghiệm $t\in \left[ 0;3 \right]$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{t+1}$ với $t\in \left[ 0;3 \right]$
Có $f\left( t \right)$ liên tục trên $\left[ 0;3 \right]$ ; ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t+4}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}^{{}}}>0,\forall t\in \left[ 0;3 \right]$.
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;3 \right]$
(2) có nghiệm $t\in \left[ 0;3 \right]$ $\Leftrightarrow f\left( 0 \right)\le 2m\le f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 0\le m\le \dfrac{21}{8}$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
${{\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2m{{\log }_{2}}x-2m-4=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+4{{\log }_{2}}x=2m\left( {{\log }_{2}}x+1 \right)\ \ \left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x;\ x\in \left[ 1;8 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;3 \right]$ ;
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành $\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{t+1}=2m\quad \left( 2 \right)$
PT (1) có nghiệm $x>0$ khi và chỉ khi (2) có nghiệm $t\in \left[ 0;3 \right]$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t}{t+1}$ với $t\in \left[ 0;3 \right]$
Có $f\left( t \right)$ liên tục trên $\left[ 0;3 \right]$ ; ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t+4}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}^{{}}}>0,\forall t\in \left[ 0;3 \right]$.
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;3 \right]$
(2) có nghiệm $t\in \left[ 0;3 \right]$ $\Leftrightarrow f\left( 0 \right)\le 2m\le f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 0\le m\le \dfrac{21}{8}$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Đáp án A.