Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(...

Xét phương trình $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m$.
Đặt $\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}=u\Leftrightarrow f\left( x \right)+m={{u}^{3}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{u}^{3}}-m$.
Từ giả thiết ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( u \right)={{x}^{3}}-m \\
& f\left( x \right)={{u}^{3}}-m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)+{{x}^{3}}=f\left( u \right)+{{u}^{3}}$.
Mặt khác $f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{\text{x}}^{3}}-4m$ nên ${{x}^{5}}+4{{\text{x}}^{3}}={{u}^{5}}+4{{u}^{3}}$.
Xét hàm số $h\left( t \right)={{t}^{5}}+4{{t}^{3}}$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ ta có ${h}'\left( t \right)=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}>0,\forall t\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow h\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right]$. Do $h\left( x \right)=h\left( u \right)$ nên $u=x$.
Với $x=u$ ta có phương trình $f\left( x \right)={{u}^{3}}-m\Leftrightarrow {{x}^{5}}+3{{\text{x}}^{3}}-4m={{x}^{3}}-m\Leftrightarrow {{x}^{5}}+2{{\text{x}}^{3}}=3m$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{\text{x}}^{3}}$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ ta có ${g}'\left( x \right)=5{{\text{x}}^{4}}+6{{\text{x}}^{2}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$.
$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( 2 \right)=48,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=3$.
Vậy phương trình $f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m$ có nghiệm $x\in \left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow 3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;...16 \right\}\Rightarrow $ có 16 giá trị nguyên của m.