Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(...

Xét phương trình $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)=x^3-m$.
Đặt $\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}=u\iff f\left(x\right)+m=u^3\iff f\left(x\right)=u^3-m$.
Từ giả thiết ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{rl}& f\left(u\right)=x^3-m\\ & f\left(x\right)=u^3-m\end{array}\Rightarrow f\left(x\right)+x^3=f\left(u\right)+u^3$.
Mặt khác $f\left(x\right)=x^5+3{\text{x}}^3-4m$ nên $x^5+4{\text{x}}^3=u^5+4u^3$.
Xét hàm số $h\left(t\right)=t^5+4t^3$ trên đoạn $[1;2]$ ta có $h^{\prime }\left(t\right)=5t^4+12t^2>0,\mathrm{\forall }t\in [1;2]\Rightarrow h\left(t\right)$ đồng biến trên $[1;2]$. Do $h\left(x\right)=h\left(u\right)$ nên $u=x$.
Với $x=u$ ta có phương trình $f\left(x\right)=u^3-m\iff x^5+3{\text{x}}^3-4m=x^3-m\iff x^5+2{\text{x}}^3=3m$.
Xét hàm số $g\left(x\right)=x^5+2{\text{x}}^3$ trên đoạn $[1;2]$ ta có $g^{\prime }\left(x\right)=5{\text{x}}^4+6{\text{x}}^2>0,\mathrm{\forall }x\in [1;2]$.
$\Rightarrow \underset{[1;2]}{max}h\left(x\right)=h\left(2\right)=48,\underset{[1;2]}{min}h\left(x\right)=h\left(1\right)=3$.
Vậy phương trình $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)=x^3-m$ có nghiệm $x\in [1;2]\iff 3\le 3m\le 48\iff 1\le m\le 16$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;...16\}\Rightarrow$ có 16 giá trị nguyên của m.