: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{9}^{x}}-\left( 2m-2 \right){{3}^{x}}-m+4=0$ có hai nghiệm phân biệt?

Phương pháp:
- Đặt $t={{3}^{x}}>0,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn $t$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
- Đặt $t={{3}^{x}}>0,$ phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-\left( 2m-2 \right)t-m+4=0\left( * \right).$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -m+4 \right)>0 \\
& 2m-2>0 \\
& -m+4>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-3>0 \\
& m>1 \\
& m<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \\
& m<\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m>1 \\
& m<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}<m<4$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=3.$
Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.