Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-5m+6 \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ; 0 \right)$ ?
A. Vô số.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
A. Vô số.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ; 0 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x\in \left( -\infty ; 0 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4mx-\left( {{m}^{2}}-5m+6 \right)\ge 0, \forall x\in \left( -\infty ; 0 \right) \left( 1 \right)$
Ta có: ${{{\Delta }'}_{{{y}'}}}=7{{m}^{2}}-15m+18>0, \forall m$. Từ đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 0 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{4m}{6}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m+6\le 0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 2; 3 \right\}$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4mx-\left( {{m}^{2}}-5m+6 \right)\ge 0, \forall x\in \left( -\infty ; 0 \right) \left( 1 \right)$
Ta có: ${{{\Delta }'}_{{{y}'}}}=7{{m}^{2}}-15m+18>0, \forall m$. Từ đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 0 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{4m}{6}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m+6\le 0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 2; 3 \right\}$.
Đáp án D.
