Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số...

Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-6m{{x}^{2}}+2\left( m+2 \right)x=2x\left[ 2{{x}^{2}}-3mx+\left( m+2 \right) \right]$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}-3mx+\left( m+2 \right)=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Trường hợp 1: Phương trình có nghiệm $x=0$, khi đó $m=-2$. Thay $m=-2$ vào phương trình ta được: $2{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có xét dấu ${y}'$ như sau:
Ta thấy khi $m=-2$ hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
+) Trường hợp 2: Phương trình có không có nghiệm $x=0$, khi đó $m\ne -2$.
Dễ thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình $y'=0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt, khi đó hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu.
Khi phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì phương trình $y'=0$ có 1 nghiệm đơn hoặc 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép, lúc này hàm số đã cho có 1 điểm cực tiểu $x=0$.
Như vậy, khi $m\ne -2$, hàm số đã cho có một điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình có $\Delta \le 0$.
$\Delta \le 0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-8\left( m+2 \right)\le 0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-8m-16\le 0\Leftrightarrow \dfrac{4-4\sqrt{10}}{9}\le m\le \dfrac{4+4\sqrt{10}}{9}.$
Mà $m\in \mathbb{Z}$, suy ra $m\in \left\{ 0;1 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.