Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y={{x}^{8}}+\left( m-4 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-16 \right){{x}^{4}}+1$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ?
A. 8.
B. Vô số.
C. 7.
D. 9.
A. 8.
B. Vô số.
C. 7.
D. 9.
Ta có $y'=8{{x}^{7}}+5\left( m-5 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-16 \right){{x}^{3}}$
$={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \right].$
Ta xét các trường hợp sau
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)$ có nghiệm $x=0$ thì ${{m}^{2}}-16=0\Rightarrow m=\pm 4.$
Với $m=4\Rightarrow y'=8{{x}^{7}}.$ Suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Với $m=-4\Rightarrow y'=8{{x}^{4}}\left( {{x}^{3}}-5 \right).$ Suy ra $x=0$ không là điểm cực trị của hàm số.
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)$ không có nghiệm $x=0$ nghĩa là ${{m}^{2}}-16\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 4.$ Khi đó ta có:
$y'={{x}^{2}}\left[ \underbrace{8{{x}^{5}}+5\left( m-4 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)x}_{g'\left( x \right)} \right]$, vì ${{x}^{2}}\ge 0$ nên số lần đổi dấu của y' bằng số lần đổi dấu của hàm $g'\left( x \right)$, do đó hàm số y đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)$ cũng đạt cực tiểu tại $x=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g'\left( 0 \right)=0 \\
& g''\left( 0 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-16 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16<0\Rightarrow -4<m<4\Rightarrow m=-3,-2,-1,0,1,2,3.$
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.
$={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \right].$
Ta xét các trường hợp sau
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)$ có nghiệm $x=0$ thì ${{m}^{2}}-16=0\Rightarrow m=\pm 4.$
Với $m=4\Rightarrow y'=8{{x}^{7}}.$ Suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Với $m=-4\Rightarrow y'=8{{x}^{4}}\left( {{x}^{3}}-5 \right).$ Suy ra $x=0$ không là điểm cực trị của hàm số.
- Nếu $8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)$ không có nghiệm $x=0$ nghĩa là ${{m}^{2}}-16\ne 0\Rightarrow m\ne \pm 4.$ Khi đó ta có:
$y'={{x}^{2}}\left[ \underbrace{8{{x}^{5}}+5\left( m-4 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-16 \right)x}_{g'\left( x \right)} \right]$, vì ${{x}^{2}}\ge 0$ nên số lần đổi dấu của y' bằng số lần đổi dấu của hàm $g'\left( x \right)$, do đó hàm số y đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)$ cũng đạt cực tiểu tại $x=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g'\left( 0 \right)=0 \\
& g''\left( 0 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-16 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16<0\Rightarrow -4<m<4\Rightarrow m=-3,-2,-1,0,1,2,3.$
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.
Đáp án A.