Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số...

Ta có $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$ và $y'=\dfrac{{{m}^{2}}-9}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$.
Để hàm số $y=\dfrac{mx+9}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow y'=\dfrac{{{m}^{2}}-9}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-9<0 \\
& -m\notin \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3<m<3 \\
& -m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3<m<3 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<3.$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}.$ Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số $m$.