Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left(...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'=3\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{2}}+2\left( m-3 \right)x-1$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1: $3\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=3 \\
m=-3 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=3\Rightarrow {y}'=-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $m=3$ thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-3\Rightarrow {y}'=-12x-1\le 0\Leftrightarrow x\ge -\dfrac{1}{12}$ nên $m=-3$ không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2: $3\left( {{m}^{2}}-9 \right)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3$.
Ta có ${y}'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a<0 \\
{\Delta }'\le 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3\left( {{m}^{2}}-9 \right)<0 \\
{{\left( m-3 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-9 \right)\le 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3<m<3 \\
4{{m}^{2}}-6m-18\le 0 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-3<m<3 \\
-\dfrac{3}{2}\le m\le 3 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le m<3$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ suy ra $m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\}$.
Từ hai trường hợp ta có $m\in \left\{ -1;0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán