Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left|...

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-5\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m$.
Trường hợp 1: Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( 1;3 \right)$ và không âm trên $\left( 1;3 \right)$ tức là $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& -m+5\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -3{{x}^{2}}+6x,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left( -3{{x}^{2}}+6x \right) \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 3 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left[ 3;5 \right]$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$.
Trường hợp 2: Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trong khoảng $\left( 1;3 \right)$ và không dương trên $\left( 1;3 \right)$ tức là
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& f\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-6x+m\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& -m+5\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -3{{x}^{2}}+6x,\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
& m\ge 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} \left( -3{{x}^{2}}+6x \right) \\
& m\ge 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -9 \\
& m\ge 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.