Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+11)x - 2{{m}^{2}}+2$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
A. $7$
B. $5$
C. $6$
D. $4$
A. $7$
B. $5$
C. $6$
D. $4$
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì phương trình
${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+11)x - 2{{m}^{2}}+2=0$ có ba nghiệm phân biệt.
${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+11)x - 2{{m}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
{{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó phương trình ${{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta '=10-{{m}^{2}}>0 \\
4-12+{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-\sqrt{10}<m<\sqrt{10} \\
m\ne \pm 3 \\
\end{matrix} \right. \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$
${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+11)x - 2{{m}^{2}}+2=0$ có ba nghiệm phân biệt.
${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+11)x - 2{{m}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
{{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0 \\
\end{matrix} \right.$
Khi đó phương trình ${{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 2$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta '=10-{{m}^{2}}>0 \\
4-12+{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-\sqrt{10}<m<\sqrt{10} \\
m\ne \pm 3 \\
\end{matrix} \right. \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$
Đáp án B.