Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y=2x+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}$ có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình nón tâm O, bán kính $\sqrt{68}$ ?
A. 16.
B. 10.
C. 12.
D. 4.
A. 16.
B. 10.
C. 12.
D. 4.
$y=2x+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\Rightarrow {y}'=2+\dfrac{m\sqrt{{{x}^{2}}+2}-\dfrac{m{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}}{{{x}^{2}}+2}=2+\dfrac{2m}{\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}}$
$\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow m=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}$
Gọi A (x;y) là điểm cực trị ta có $y=2x+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=2x-x\left( {{x}^{2}}+2 \right)=-{{x}^{3}}\Rightarrow A\left( x;-{{x}^{3}} \right).$
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow OA\le \sqrt{68}\Leftrightarrow {{x}^{6}}+{{x}^{2}}-68\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le x\le 2$
$f\left( x \right)=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2},x\in \left[ -2;2 \right]$
${f}'\left( x \right)=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+2}-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=\dfrac{-3{{x}^{3}}-6x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên:
Để hàm số có cực trị thoả yêu cầu bài toán thì $-6\sqrt{6}\le m\le -2\sqrt{2}.$
$\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow m=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2}$
Gọi A (x;y) là điểm cực trị ta có $y=2x+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=2x-x\left( {{x}^{2}}+2 \right)=-{{x}^{3}}\Rightarrow A\left( x;-{{x}^{3}} \right).$
Yêu cầu bài toán $\Rightarrow OA\le \sqrt{68}\Leftrightarrow {{x}^{6}}+{{x}^{2}}-68\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le x\le 2$
$f\left( x \right)=-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2},x\in \left[ -2;2 \right]$
${f}'\left( x \right)=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+2}-\left( {{x}^{2}}+2 \right)\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}=\dfrac{-3{{x}^{3}}-6x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên:
Để hàm số có cực trị thoả yêu cầu bài toán thì $-6\sqrt{6}\le m\le -2\sqrt{2}.$
Đáp án C.