Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-13x+m$ cắt trục hoành tại ba điểm đều có hoành độ nguyên?

Để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-13x+m$ cắt trục hoành tại ba điểm đều có hoành độ nguyên thì phương trình ${{x}^{3}}-13x+m=0\left( * \right)$ có 3 nghiệm đều nguyên
Ta có: ${{x}^{3}}-13x+m=0\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+13x=m$
Xét hàm số $y=-{{x}^{3}}+13x$
Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+13,\forall x\in \mathbb{R};y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+13=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\sqrt{39}}{3} \\
& x=-\dfrac{\sqrt{39}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:

Các giá trị $m$ nguyên để phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm phân biệt thì
$\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{26\sqrt{39}}{9}<m<\dfrac{26\sqrt{39}}{9} \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left\{ 0;\pm 1;\pm ;...;\pm 18 \right\}.$
Với các giá trị $m\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2;...;\pm 18 \right\}$ để phương trình (*) có 3 nghiệm đều có hoành độ nguyên chỉ có $m=\pm 12$ thỏa mãn.