Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+2mx-m-1$ có hai điểm cực trị nằm về hai...

Phương pháp:
Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có ba nghiệm phân biệt.
Cách giải:
Để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+2mx-m-1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình $m{{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+2mx-m-1=0\left( * \right)$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có:
$\begin{aligned}
& m{{x}^{3}}-\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+2mx-m-1=0 \\
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ m{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m+1 \right]=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& m{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m+1=0\left( ** \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m.1-\left( m-1 \right).1+m+1\ne 0 \\
& \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4m\left( m+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m-m+1+m+1\ne 0 \\
& {{m}^{2}}-2m+1-4{{m}^{2}}-4m>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m\ne -2 \\
& -3{{m}^{2}}-6m+1>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m\ne -2 \\
& \dfrac{-3-2\sqrt{3}}{3}<m<\dfrac{-3+2\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1.$
Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.