Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình...

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4mx+12m>0,\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+4x+12>0,\forall x\in \mathbb{R} \\
& {{x}^{2}}+8x+24>0,\forall x\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1>0 \\
& {\Delta }'<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {\Delta }'=4{{m}^{2}}-12m<0\Leftrightarrow 0<m<3$
Thử lại:
Với $m=1$, bất phương trình trở thành $\begin{aligned}
& {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+4x+12 \right)<{{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+4x+12 \right).{{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+8x+24 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+8x+24 \right)>1 \left( {{x}^{2}}+4x+12\ge 8\Rightarrow {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+4x+12 \right)>0 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+8x+16>0 \\
& \Leftrightarrow x\ne -4 \\
\end{aligned}$
Do đó $m=1$ không thỏa mãn.
Với $m=2$, bất phương trình trở thành
$\begin{aligned}
& {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+8x+24 \right)<{{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+4x+12 \right).{{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+8x+24 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+4x+12 \right)>1 \left( {{x}^{2}}+8x+24\ge 8\Rightarrow {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}+8x+24 \right)>0 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+4>0 \\
& \Leftrightarrow x\ne -2 \\
\end{aligned}$
Do đó $m=2$ không thỏa mãn.
Vậy không tồn tại $m$ thỏa yêu cầu bài toán.