Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ sao cho hàm số $y=\left|x^3-3 x^2-a x+a\right|$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ ?
A. 1.
B. 0 .
C. 2 .
D. Vô số.
A. 1.
B. 0 .
C. 2 .
D. Vô số.
Đặt $f(x)=x^3-3 x^2-a x+a$.
Nhận xét: $f(x)=0$ có nghiệm $x_0 \in(0 ;+\infty)$ thì hàm số $y=|f(x)|$ không thể đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$
Suy ra $f(x)=0$ không có nghiệm trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Ta có $f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x-a$.
Khi đó $y=\left|x^3-3 x^2-a x+a\right|=|f(x)|=\sqrt{f^2(x)}$ nên $y^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x) \cdot f(x)}{\sqrt{f^2(x)}}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \geq 0$ với $\forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x) \cdot f(x) \geq 0 \\ f(x) \neq 0\end{array}, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)>0 \\ f^{\prime}(x) \geq 0\end{array}, \forall x \in(0 ;+\infty)\left(\right.\right.\right.$ vì $\left.\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\right)$ $* f(x)>0, \forall x \in(0 ;+\infty)$.
Do $f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)$ nên $f(x)>0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow f(0) \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$ (1). * $f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow 3 x^2-6 x-a \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow a \leq \min \left(3 x^2-\right.$ $6 x), \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow a \leq-3(2)$.
Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị $a$ nào thỏa mãn bài toán.
Nhận xét: $f(x)=0$ có nghiệm $x_0 \in(0 ;+\infty)$ thì hàm số $y=|f(x)|$ không thể đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$
Suy ra $f(x)=0$ không có nghiệm trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Ta có $f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x-a$.
Khi đó $y=\left|x^3-3 x^2-a x+a\right|=|f(x)|=\sqrt{f^2(x)}$ nên $y^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x) \cdot f(x)}{\sqrt{f^2(x)}}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ khi và chỉ khi $y^{\prime} \geq 0$ với $\forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x) \cdot f(x) \geq 0 \\ f(x) \neq 0\end{array}, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)>0 \\ f^{\prime}(x) \geq 0\end{array}, \forall x \in(0 ;+\infty)\left(\right.\right.\right.$ vì $\left.\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\right)$ $* f(x)>0, \forall x \in(0 ;+\infty)$.
Do $f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)$ nên $f(x)>0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow f(0) \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$ (1). * $f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow 3 x^2-6 x-a \geq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow a \leq \min \left(3 x^2-\right.$ $6 x), \forall x \in(0 ;+\infty) \Leftrightarrow a \leq-3(2)$.
Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị $a$ nào thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.