Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[ -2020;2021...

Cách giải:
ĐKXĐ: $x+m>0$
Ta có
${{\ln }^{3}}\left( x+m \right)+{{m}^{3}}+{{e}^{x}}\ln {{\left( x+m \right)}^{3m}}={{e}^{3x}}$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{3}}\left( x+m \right)+{{m}^{3}}+3m{{e}^{x}}\ln \left( x+m \right)={{e}^{3x}}$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{3}}\left( x+m \right)+{{\left( -{{e}^{x}} \right)}^{3}}+{{m}^{3}}-3\ln \left( x+m \right).\left( -{{e}^{x}} \right).m=0\left( 1 \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& A=\ln \left( x+m \right) \\
& B=-{{e}^{x}} \\
& C=m \\
\end{aligned} \right., $ phương trình (1) trở thành: $ {{A}^{3}}+{{B}^{3}}+{{C}^{3}}-3ABC=0.$
$\Leftrightarrow \left( A+B+C \right)\dfrac{{{\left( A-B \right)}^{2}}+{{\left( B-C \right)}^{2}}+{{\left( C-A \right)}^{2}}}{2}=0\left( 2 \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& A+B+C=0 \\
& A=B=C \\
\end{aligned} \right.$
+) Xét $A=B=C\Leftrightarrow \ln \left( x+m \right)=m=-{{e}^{x}}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-{{e}^{x}} \\
& x+m={{e}^{m}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=-{{e}^{{{e}^{m}}-m}}\Leftrightarrow m+{{e}^{{{e}^{m}}-m}}=0\left( * \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x}}-x$ ta có $f'\left( x \right)={{e}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0.$
BBT của hàm số $f\left( x \right):$

Dựa vào BBT ta thấy $f\left( x \right)\ge 1>0\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {{e}^{x}}>x\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Rightarrow {{e}^{{{e}^{m}}-m}}>{{e}^{-m}}>-m\forall m\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{e}^{{{e}^{m}}-m}}+m>0\forall m\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow $ Phương trình (*) vô nghiệm.
+) Xét $A+B+C=0\Leftrightarrow \ln \left( x+m \right)-{{e}^{x}}+m=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}=m+\ln \left( x+m \right)\left( 3 \right)$
Đặt $y=\ln \left( x+m \right)\Leftrightarrow {{e}^{y}}=x+m.$
Khi đó phương trình (3) trở thành: ${{e}^{x}}=m+y.$
Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}=m+y \\
& {{e}^{y}}=m+x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{y}}=t=y-x\Leftrightarrow {{e}^{x}}+x={{e}^{y}}+y.$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{e}^{t}}+1\Rightarrow g'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0\forall t\in \mathbb{R}$
Do đó $g\left( x \right)=g\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\Leftrightarrow \ln \left( x+m \right)=x\Leftrightarrow x+m={{e}^{x}}\Leftrightarrow m={{e}^{x}}-x=f\left( x \right)\left( 4 \right).$
Dựa vào BBT của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{x}}-x$ ở trên ta thấy phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge 1.$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m\in \left[ 1;2021 \right],m\in \mathbb{Z}.$
Vậy có 2021 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.