Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=\dfrac{{{2021}^{-x}}+2}{{{2021}^{-x}}+m}$ đồng biến trên...

Phương pháp:
- Đặt $t={{2020}^{-x}}.$
- Hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ nghịch biến trên $\left( m;n \right)$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& y'<0 \\
& -\dfrac{d}{c}\notin \left( m;n \right) \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Đặt $t={{2020}^{-x}},$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$ thì $t\in \left( 1;+\infty \right),t,x$ ngược tính đơn điệu.
Bài toán trở thành: Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{t+2}{t-m}$ nghịch biến trên $\left( 1;+\infty \right).$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'=\dfrac{-m-2}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}<0 \\
& m\notin \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-2 \\
& m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2<m\le 1.$
Kết hợp điều kiện $m\in \left[ -10;10 \right]$ ta có $m\in \left( -2;1 \right].$ Lại có $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn.