Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[0 ; 5]$ để hàm số...

Đặt $f(x)=x^3-3(m+2) x^2+3 m(m+4) x$
Trường hợp 1: Nếu $m=0$, khi đó $f(x)=x^3-6 x^2$
$
f^{\prime}(x)=3 x^2-12 x \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x=4
\end{array}\right.
$
Bảng biến thiên của $f(x)$

Bảng biến thiên của hàm số $y=|f(x)|=\left|x^3-6 x^2\right|$

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y=|f(x)|=\left|x^3-6 x^2\right|$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$. Do đó $m=0$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: Nếu $m>0$, khi đó ta có $f^{\prime}(x)=3 x^2-6(m+2) x+3 m(m+4)$
$
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x^2-2(m+2) x+m(m+4)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=m \\
x=m+4
\end{array}\right.
$
+ Với $0<m<3$, bảng biến thiên của hàm số $f(x)$.
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $f(x)$, ta thấy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(m ; 3)$ và $f(m)>0$ suy ra hàm số $y=|f(x)|$ không thể đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$.
+ Với $m \geq 3$, bảng biến thiên của hàm số $f(x)$
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$ và $f(x)>0, \forall x \in(0 ; 3)$, suy ra hàm số $y=|f(x)|$ luôn đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$. Vì $m \in[0 ; 5] \Rightarrow m \in\{3,4,5\}$.
Vậy $m \in\{0,3,4,5\}$ nên có 4 giá trị của $m$.
Cách 2:
$
\begin{aligned}
& \text { Đăt } f(x)=x^3-3(m+2) x^2+3 m(m+4) x \\
& f^{\prime}(x)=3 x^2-6(m+2) x+3 m(m+4) \\
& f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x^2-2(m+2) x+m(m+4)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=m \\
x=m+4
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Bảng biến thiên của $f(x)$
Để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$ thì xảy ra 2 trường hợp
+ Trường hợp 1: Hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$ và $f(0) \geq 0$.
Vì $f(0)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m \geq 3 \\ m+4 \leq 0\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m \geq 3 \\ m \leq-4 .\end{array}\right.\right.$ Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in[0 ; 5] \Rightarrow m \in\{3,4,5\}$
+ Trường hợp 2: Hàm số $y=f(x)$ luôn nghịch biến trên khoảng $(0 ; 3)$ và $f(0) \leq 0$.
Vì $f(0)=0 \Rightarrow(0 ; 3) \subset(m ; m+4) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m \leq 0 \\ m+4 \geq 3\end{array} \Leftrightarrow-1 \leq m \leq 0\right.$. Vì $m \in \mathbb{Z}$ và
$m \in[0 ; 5] \Rightarrow m=0$
Vậy $m \in\{0,3,4,5\}$ nên có 4 giá trị của $m$.