Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ${{e}^{x}}+m=\ln \left( x-m \right)$ có nghiệm và thỏa mãn thỏa ${{\log }_{2}}{{\left( m+5 \right)}^{2}}\le 4$ ?
A. 1.
B. 5.
C. 8.
D. 9.
A. 1.
B. 5.
C. 8.
D. 9.
Ta có đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}\left( {{C}_{1}} \right)$ và đồ thị hàm số $y=\ln \left( x \right)\left( {{C}_{2}} \right)$ như hình vẽ sau
+ Với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
+ Với $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$
Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình ${{e}^{x}}+m=\ln \left( x-m \right)$ có ít nhất một nghiệm.
Vậy để phương trình ${{e}^{x}}+m=\ln \left( x-m \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\left( 1 \right)$
Xét ${{\log }_{2}}{{\left( m+5 \right)}^{2}}\le 4\left( * \right)$ Đk: $m\ne \left\{ -5 \right\}.$ Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left| m+5 \right|\le 4\Leftrightarrow -9\le m\le -1$
Suy ra $m\in \left[ -9;-1 \right]\backslash \left\{ -5 \right\}\left( 2 \right)$. Từ (1),(2) $\Rightarrow m=\left\{ -9;-8;-7;-6;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
+ Với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
- Đồ thị của hàm số $y={{e}^{x}}+m$ là tịnh tiến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ lên ít nhất 1 đơn vị.
- Đồ thị của hàm số $y=\ln \left( x-m \right)$ là tịnh tiến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ sang phải ít nhất 1 đơn vị.
+ Với $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$
- Đồ thị của hàm số $y={{e}^{x}}+m$ là tịnh tiến của $\left( {{C}_{1}} \right)$ xuống dưới ít nhất 1 đơn vị.
- Đồ thị của hàm số $y=\ln \left( x-m \right)$ là tịnh tiến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ sang trái ít nhất 1 đơn vị.
Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình ${{e}^{x}}+m=\ln \left( x-m \right)$ có ít nhất một nghiệm.
Vậy để phương trình ${{e}^{x}}+m=\ln \left( x-m \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\left( 1 \right)$
Xét ${{\log }_{2}}{{\left( m+5 \right)}^{2}}\le 4\left( * \right)$ Đk: $m\ne \left\{ -5 \right\}.$ Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left| m+5 \right|\le 4\Leftrightarrow -9\le m\le -1$
Suy ra $m\in \left[ -9;-1 \right]\backslash \left\{ -5 \right\}\left( 2 \right)$. Từ (1),(2) $\Rightarrow m=\left\{ -9;-8;-7;-6;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
Đáp án C.