Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ có nghiệm?
A. 7
B. 4
C. 5
D. 6
A. 7
B. 4
C. 5
D. 6
Ta có: ${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}$.
Đặt $t={{\sin }^{2}}x,t\in \left[ 0;1 \right]$. Phương trình đã cho trở thành: ${{2}^{t}}+{{3}^{1-t}}=m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+{{3}^{1-2t}}=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+{{3}^{1-2t}}$, với $t\in \left[ 0;1 \right]$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{2}{3}-{{2.3}^{1-2t}}.\ln 3$
${f}''\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\prime }}.{{\left( \ln \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{4.3}^{1-2t}}.{{\left( \ln 3 \right)}^{2}}>0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$ nên ${f}'\left( t \right)\le {f}'\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}\ln \dfrac{2}{9}<0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
$\Rightarrow f\left( t \right)$ liên tục và nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ nên $f\left( 1 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 0 \right),\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
Suy ra $1\le m\le 4$ thì phương trình có nghiệm.
Đặt $t={{\sin }^{2}}x,t\in \left[ 0;1 \right]$. Phương trình đã cho trở thành: ${{2}^{t}}+{{3}^{1-t}}=m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+{{3}^{1-2t}}=m$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+{{3}^{1-2t}}$, với $t\in \left[ 0;1 \right]$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{2}{3}-{{2.3}^{1-2t}}.\ln 3$
${f}''\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\prime }}.{{\left( \ln \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{4.3}^{1-2t}}.{{\left( \ln 3 \right)}^{2}}>0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$ nên ${f}'\left( t \right)\le {f}'\left( 1 \right)=\dfrac{2}{3}\ln \dfrac{2}{9}<0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
$\Rightarrow f\left( t \right)$ liên tục và nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ nên $f\left( 1 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 0 \right),\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
Suy ra $1\le m\le 4$ thì phương trình có nghiệm.
Đáp án B.