Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ${{2}^{{{\sin...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

2^{\sin^{2} x} + 3^{\cos^{2} x} = m {.3}^{\sin^{2} x}

có nghiệm?
A. 7
B. 4
C. 5
D. 6

Ta có:

2^{\sin^{2} x} + 3^{\cos^{2} x} = m {.3}^{\sin^{2} x} \Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x} + 3^{1 - \sin^{2} x} = m {.3}^{\sin^{2} x}

.
Đặt

t = \sin^{2} x, t \in [0; 1]

. Phương trình đã cho trở thành:

2^{t} + 3^{1 - t} = m {.3}^{t} \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{t} + 3^{1 - 2 t} = m

.
Xét hàm số

f (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} + 3^{1 - 2 t}

, với

t \in [0; 1]

. Ta có

f^{'} (t) = {(\frac{2}{3})}^{t} . \ln \frac{2}{3} - {2.3}^{1 - 2 t} . \ln 3

f^{″} (t) = {(\frac{2}{3})}^{'} . {(\ln \frac{2}{3})}^{2} + {4.3}^{1 - 2 t} . {(\ln 3)}^{2} > 0, \forall t \in [0; 1]

\Rightarrow f^{'} (t)

liên tục và đồng biến trên

[0; 1]

nên

f^{'} (t) \leq f^{'} (1) = \frac{2}{3} \ln \frac{2}{9} < 0, \forall t \in [0; 1]

.

\Rightarrow f (t)

liên tục và nghịch biến trên

[0; 1]

nên

f (1) \leq f (t) \leq f (0), \forall t \in [0; 1]

.
Suy ra

1 \leq m \leq 4

thì phương trình có nghiệm.

Đáp án B.