Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)x+5$ đồng biến trên $\left( 0; 2 \right)$ ?
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $1$.
Ta có $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)x+5\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+6x-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$ khi
${y}'\ge 0, \forall x\in \left( 0; 2 \right)$ và dấu $''=''$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)\ge 0,$ $\forall x\in \left( 0; 2 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x\ge {{m}^{2}}-3m+2 \left( * \right)$ $\forall x\in \left( 0; 2 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x,$ $x\in \left( 0; 2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=6x+6>0, \forall x\in \left( 0; 2 \right)$.
Bảng biến thiên:
Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để $\left( * \right)$ xảy ra là: ${{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 2$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1; 2 \right\}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$ khi
${y}'\ge 0, \forall x\in \left( 0; 2 \right)$ và dấu $''=''$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng $\left( 0; 2 \right)$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)\ge 0,$ $\forall x\in \left( 0; 2 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x\ge {{m}^{2}}-3m+2 \left( * \right)$ $\forall x\in \left( 0; 2 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x,$ $x\in \left( 0; 2 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=6x+6>0, \forall x\in \left( 0; 2 \right)$.
Bảng biến thiên:
Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để $\left( * \right)$ xảy ra là: ${{m}^{2}}-3m+2\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 2$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1; 2 \right\}$.
Đáp án B.