Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\left|x^3-3 m x+2 m^3\right|$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$ ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
Xét hàm số $f(x)=x^3-3 m x+2 m^3 \Rightarrow f^{\prime}(x)=3 x^2-3 m$
+ Với $m=0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2 \geq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, mặt khác $f(1)=1>0$ nên suy ra $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$. Vậy chọn $m=0$.
+ Với $m<0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2-3 m>0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$. Do đó để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$ thì điều kiện đủ là $f(1)=2 m^3-$ $3 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ m \geq 1\end{array}\right.$
Kết hợp ta có: $\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m<0$. Do $m$ là số nguyên nên chọn $m=-1$.
+ Với $m>0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2-3 m=0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{m} \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(\sqrt{m} ;+\infty)$.
Do đó $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m} \leq 1 \\ f(1) \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 \leq m \leq 1 \\ {\left[\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right.} \\ m \geq 1\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}0 \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ m=1\end{array}\right.$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên là $m=0 ; m= \pm 1$.
+ Với $m=0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2 \geq 0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, mặt khác $f(1)=1>0$ nên suy ra $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$. Vậy chọn $m=0$.
+ Với $m<0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2-3 m>0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$. Do đó để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty)$ thì điều kiện đủ là $f(1)=2 m^3-$ $3 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ m \geq 1\end{array}\right.$
Kết hợp ta có: $\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m<0$. Do $m$ là số nguyên nên chọn $m=-1$.
+ Với $m>0$ thì $f^{\prime}(x)=3 x^2-3 m=0 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{m} \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(\sqrt{m} ;+\infty)$.
Do đó $y=|f(x)|$ đồng biến trên $(1 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m} \leq 1 \\ f(1) \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 \leq m \leq 1 \\ {\left[\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right.} \\ m \geq 1\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}0 \leq m \leq \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \\ m=1\end{array}\right.$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên là $m=0 ; m= \pm 1$.
Đáp án B.