Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\left( 2m+3 \right)\sin x+\left( 2-m \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}?$
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 6.
Ta có: ${y}'=\left( 2m+3 \right)\cos x+2-m.$
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( 2m+3 \right)\cos x+2-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $2m+3\ne 0$ do đó ta có hai trường hợp sau:
TH1: $2m+3>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{2}$ thì: $\cos x\ge \dfrac{m-2}{2m+3},\forall x\in \mathbb{R}$ mà $-1\le \cos x\le 1$
Do đó: $\dfrac{m-2}{2m+3}\le -1\Leftrightarrow \dfrac{3m+1}{2m+3}\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<m\le -\dfrac{1}{3},$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=-1.$
TH2: $2m+3<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{3}{2}$ thì: $\cos x\le \dfrac{m-2}{2m+3},\forall x\in \mathbb{R}$
Mà $-1\le \cos x\le 1$ do đó: $\dfrac{m-2}{2m+3}\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{-m-5}{2m+3}\ge 0\Leftrightarrow -5\le m<-\dfrac{3}{2}$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên
$m\in \left\{ -5;-4;-3;-2 \right\}.$
Vậy $m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1 \right\}.$
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( 2m+3 \right)\cos x+2-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $2m+3\ne 0$ do đó ta có hai trường hợp sau:
TH1: $2m+3>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{2}$ thì: $\cos x\ge \dfrac{m-2}{2m+3},\forall x\in \mathbb{R}$ mà $-1\le \cos x\le 1$
Do đó: $\dfrac{m-2}{2m+3}\le -1\Leftrightarrow \dfrac{3m+1}{2m+3}\le 0\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<m\le -\dfrac{1}{3},$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=-1.$
TH2: $2m+3<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{3}{2}$ thì: $\cos x\le \dfrac{m-2}{2m+3},\forall x\in \mathbb{R}$
Mà $-1\le \cos x\le 1$ do đó: $\dfrac{m-2}{2m+3}\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{-m-5}{2m+3}\ge 0\Leftrightarrow -5\le m<-\dfrac{3}{2}$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên
$m\in \left\{ -5;-4;-3;-2 \right\}.$
Vậy $m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1 \right\}.$
Đáp án B.