Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=3x+m\left( \sin x+\cos x+m \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. Vô số.
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. Vô số.
${y}'=3+m\left( \cos x-\sin x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\left( \sin x-\cos x \right)\le 3,\forall x\in \mathbb{R}$.
TH1. $0<\sin x-\cos x\le \sqrt{2}\Rightarrow m\le \dfrac{3}{\sin x-\cos x}\Rightarrow m\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ .
TH2. $-\sqrt{2}\le \sin x-\cos x<0\Rightarrow m\ge \dfrac{3}{\sin x-\cos x}\Rightarrow m\ge -\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ .
TH3. $\sin x-\cos x=0\Rightarrow m\in \mathbb{R}$ .
Tóm lại $-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\le m\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$.
TH1. $0<\sin x-\cos x\le \sqrt{2}\Rightarrow m\le \dfrac{3}{\sin x-\cos x}\Rightarrow m\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ .
TH2. $-\sqrt{2}\le \sin x-\cos x<0\Rightarrow m\ge \dfrac{3}{\sin x-\cos x}\Rightarrow m\ge -\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ .
TH3. $\sin x-\cos x=0\Rightarrow m\in \mathbb{R}$ .
Tóm lại $-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\le m\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$.
Đáp án A.