. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình ${{\log...

${{\log }_{2}}\left( 7{{\text{x}}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\
& 7{{\text{x}}^{2}}+7\ge m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0 \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4\text{x}+7-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( 7{{\text{x}}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m \right)$ nghiệm đúng với mọi x khi và chi khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0\left( 1 \right) \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4\text{x}+7-m\ge 0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ nghiệm đúng với mọi x thực.
Khi $m=0$ thì (1) trở thành $4\text{x}>0\Leftrightarrow x>0\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn.
Khi $m=7$ thì (2) trở thành $-4\text{x}\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\Rightarrow m=7$ không thỏa mãn.
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& m{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}+m>0\left( 1 \right) \\
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4\text{x}+7-m\ge 0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ nghiệm đúng với mọi x khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 4-{{m}^{2}}<0 \\
& 7-m>0 \\
& 4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<7 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 9 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5 $. Do $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$ nên có 3 giá trị.