. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình ${{\log...

${\log }_2(7{\text{x}}^2+7)\ge {\log }_2(m{\text{x}}^2+4\text{x}+m)\iff \{\begin{array}{rl}& m{\text{x}}^2+4\text{x}+m>0\\ & 7{\text{x}}^2+7\ge m{\text{x}}^2+4\text{x}+m\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m{\text{x}}^2+4\text{x}+m>0\\ & (7-m)x^2-4\text{x}+7-m\ge 0\end{array}$.
Bất phương trình ${\log }_2(7{\text{x}}^2+7)\ge {\log }_2(m{\text{x}}^2+4\text{x}+m)$ nghiệm đúng với mọi x khi và chi khi
$\{\begin{array}{rl}& m{\text{x}}^2+4\text{x}+m>0\left(1\right)\\ & (7-m)x^2-4\text{x}+7-m\ge 0\left(2\right)\end{array}$ nghiệm đúng với mọi x thực.
Khi $m=0$ thì (1) trở thành $4\text{x}>0\iff x>0\Rightarrow m=0$ không thỏa mãn.
Khi $m=7$ thì (2) trở thành $-4\text{x}\ge 0\iff x\le 0\Rightarrow m=7$ không thỏa mãn.
Hệ bất phương trình $\{\begin{array}{rl}& m{\text{x}}^2+4\text{x}+m>0\left(1\right)\\ & (7-m)x^2-4\text{x}+7-m\ge 0\left(2\right)\end{array}$ nghiệm đúng với mọi x khi
$\{\begin{array}{rl}& m>0\\ & 4-m^2<0\\ & 7-m>0\\ & 4-{(7-m)}^2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 0<m<7\\ & [\begin{array}{rl}& m>2\\ & m<-2\end{array}\\ & [\begin{array}{rl}& m\ge 9\\ & m\le 5\end{array}\end{array}\iff 2<m\le 5$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{3;4;5\}$ nên có 3 giá trị.