Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình $\ln \left(...

Bất phương trình $\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
\end{aligned} \right. $, với mọi $ x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( m-7 \right){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
\end{aligned} \right. $, với mọi $ x\in \mathbb{R}$.
Ta nhận thấy, $m=0$ hoặc $m=7$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi $m\ne 0$ hoặc $m\ne 7$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( m-7 \right){{x}^{2}}+4x+m-7\le 0 \\
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
\end{aligned} \right. $, với mọi $ x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-7<0 \\
& 4-{{\left( m-7 \right)}^{2}}\le 0 \\
& m>0 \\
& 4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<7 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m\ge 9 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$.