Có bao nhiêu giá trị nguyên ${b>1}$ để với mỗi giá trị của ${b}$...

Ta có ${\log _{3} \dfrac{2 a^{2}+3 a+b}{a^{2}-a+2} \leq a^{2}-6 a+7-b \Leftrightarrow \log _{3} \dfrac{2 a^{2}+3 a+b}{3 a^{2}-3 a+6}+2 a^{2}+3 a+b \leq 3 a^{2}-3 a+6}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{a}^{2}}+3a+b \right)+2{{a}^{2}}+3a+b\le {{\log }_{3}}\left( 3{{a}^{2}}-3a+6 \right)+3{{a}^{2}}-3a+6 \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t,t>0\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0,\forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2{{a}^{2}}+3a+b \right)\le f\left( 3{{a}^{2}}-3a+6 \right)\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+3a+b\le 3{{a}^{2}}-3a+6\Leftrightarrow b\le {{a}^{2}}-6a+6$
Xét hàm số ${y=a^{2}-6 a+6}$ có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 46<b\le 61$. Vậy có 15 giá trị thoả mãn.