Có bao nhiêu giá trị nguyên $b > 1$ để với mỗi giá trị của $b$ ...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên

b > 1

để với mỗi giá trị của

b

có đúng 5 số nguyên

a \in (- 10; 10)

thỏa mãn

\log_{3} \frac{2 a^{2} + 3 a + b}{a^{2} - a + 2} \leq a^{2} - 6 a + 7 - b

.
A.

16

.
B.

15

.
C.

9

.
D.

10

.

Ta có

\log_{3} \frac{2 a^{2} + 3 a + b}{a^{2} - a + 2} \leq a^{2} - 6 a + 7 - b \Leftrightarrow \log_{3} \frac{2 a^{2} + 3 a + b}{3 a^{2} - 3 a + 6} + 2 a^{2} + 3 a + b \leq 3 a^{2} - 3 a + 6

\Leftrightarrow \log_{3} (2 a^{2} + 3 a + b) + 2 a^{2} + 3 a + b \leq \log_{3} (3 a^{2} - 3 a + 6) + 3 a^{2} - 3 a + 6 (*)

Xét hàm số

f (t) = t + \log_{3} t, t > 0 \Rightarrow f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t \ln 3} > 0, \forall t > 0

nên hàm số

f (t) = t + \log_{3} t

đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.
Suy ra

(*) \Leftrightarrow f (2 a^{2} + 3 a + b) \leq f (3 a^{2} - 3 a + 6) \Leftrightarrow 2 a^{2} + 3 a + b \leq 3 a^{2} - 3 a + 6 \Leftrightarrow b \leq a^{2} - 6 a + 6

Xét hàm số

y = a^{2} - 6 a + 6

có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow 46 < b \leq 61

. Vậy có 15 giá trị thoả mãn.

Đáp án B.

Có bao nhiêu giá trị nguyên b>1 để với mỗi giá trị của b...