Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm và không nhỏ hơn $-$ 10 của m để bất phương trình $\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{{\sin }^{2}}\dfrac{3x}{2}+\sin 3x+2}\ge m-1$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ ?
A. 10
B. 11
C. 12
D. 15
A. 10
B. 11
C. 12
D. 15
Đặt $y=\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{{\sin }^{2}}\dfrac{3x}{2}+\sin 3x+2}$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{\sin 3x-\cos 3x+3}$ (Vì $\sin 3x-\cos 3x+3>0, \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số luôn xác định trên $\mathbb{R}$ )
$\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\sin 3x-\left( y+2 \right)\cos 3x=-3y\left( * \right)$
Vì bất phương trình $\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{{\sin }^{2}}\dfrac{3x}{2}+\sin 3x+2}\ge m-1$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ nên (*) luôn có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ge 9{{y}^{2}}\Leftrightarrow 7{{y}^{2}}-2y-5\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-5}{7}\le y\le 1$
Yêu cầu bài toán $m-1\le -\dfrac{5}{7}\Leftrightarrow m\le \dfrac{2}{7}.\xrightarrow[m\in \mathbb{Z}]{-10\le m\le \dfrac{2}{7}}m=\left\{ -10;-9;...;-1 \right\}$
$\Leftrightarrow y=\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{\sin 3x-\cos 3x+3}$ (Vì $\sin 3x-\cos 3x+3>0, \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số luôn xác định trên $\mathbb{R}$ )
$\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\sin 3x-\left( y+2 \right)\cos 3x=-3y\left( * \right)$
Vì bất phương trình $\dfrac{\sin 3x+2\cos 3x}{2{{\sin }^{2}}\dfrac{3x}{2}+\sin 3x+2}\ge m-1$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ nên (*) luôn có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ge 9{{y}^{2}}\Leftrightarrow 7{{y}^{2}}-2y-5\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-5}{7}\le y\le 1$
Yêu cầu bài toán $m-1\le -\dfrac{5}{7}\Leftrightarrow m\le \dfrac{2}{7}.\xrightarrow[m\in \mathbb{Z}]{-10\le m\le \dfrac{2}{7}}m=\left\{ -10;-9;...;-1 \right\}$
Đáp án A.