Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Ta có: ${y}'={{x}^{3}}+m+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+m+\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2{{x}^{2}}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$, với $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2{{x}^{2}}}$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{3}}}=\dfrac{-3{{x}^{5}}+3}{{{x}^{3}}}$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{-3{{x}^{5}}+3}{{{x}^{3}}}=0\Leftrightarrow -3{{x}^{5}}+3=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có: $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-\dfrac{5}{2}$. Suy ra $\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{5}{2}$.
Do $m$ nguyên âm nên $m\in \left\{ -2;-1 \right\}$.