Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\dfrac{1}{5{{x}^{5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. 12.
B. 3.
C. 0.
D. 4.
A. 12.
B. 3.
C. 0.
D. 4.
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-\dfrac{1}{{{x}^{6}}}=g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-4.$
Suy ra $\underset{x\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=-4$ do đó $m\ge -4\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$
Chú ý: ta sử dụng table để tìm max.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-\dfrac{1}{{{x}^{6}}}=g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-4.$
Suy ra $\underset{x\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=-4$ do đó $m\ge -4\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$
Chú ý: ta sử dụng table để tìm max.
Đáp án D.