Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $a$ để hàm số $y=\left|...

Ta đặt $g(x)={{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x$. Ta có ${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2ax-8$.
Thấy rằng $g(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}+ax-8=0\ (*) \\
\end{aligned} \right.$.
Vì phương trình $\left( * \right)$ luôn có ít nhất một nghiệm khác $0$ nên phương trình $g(x)=0$ có ít nhất hai nghiệm trong đó $x=0$ là nghiệm đơn.$$
Kết hợp với $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} y=+\infty $ ta suy ra hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|$ có đúng ba điểm cực trị $\Leftrightarrow $ $g(x)$ có đúng một cực trị $\Leftrightarrow $ ${g}'(x)=0$ có đúng một nghiệm bội lẻ.
${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2ax-8=0\Leftrightarrow a=-2{{x}^{2}}+\dfrac{4}{x}=h(x)\quad \left( ** \right)$. Ta có ${h}'(x)=-4x-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=-1$.
Bảng biến thiên của hàm $h(x)$ :
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $(**)$ có một nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi $a\ge -6$.
Do đó có tất cả $6$ giá trị nguyên âm của tham số $a$ thỏa đề bài.