Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $a$ để hàm số $y=\left|...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x$ ; ${f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2ax-8$
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}+ax-8=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì phương trình bậc ba luôn có tối thiểu $1$ nghiệm nên để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có đúng ba điểm cực trị thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có $2$ nghiệm phân biệt và ${f}'\left( x \right)=0$ có đúng $1$ nghiệm bội lẻ.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{3}}+ax-8\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+a$.
Để $g\left( x \right)=0$ có 1 nghiệm duy nhất $\ne 0$ $\left( 1 \right)$
TH1: $3{{x}^{2}}+a=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow a\ge 0$
TH2: $3{{x}^{2}}+a=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{-a}{3}} \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& g\left( \sqrt{-\dfrac{a}{3}} \right)>0 \\
& g\left( -\sqrt{-\dfrac{a}{3}} \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -\dfrac{a}{3}\sqrt{-\dfrac{a}{3}}+a\sqrt{-\dfrac{a}{3}}-8>0 \\
& \dfrac{a}{3}\sqrt{-\dfrac{a}{3}}-a\sqrt{-\dfrac{a}{3}}-8<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\sqrt{-\dfrac{a}{3}}>6 (sai) \\
& a>-3 \sqrt[3]{16} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $a>-3 \sqrt[3]{16}$
Để ${f}'\left( x \right)=0$ có đúng $1$ nghiệm bội lẻ $\left( 2 \right)$
TH1: $12{{x}^{2}}+2a=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow a\ge 0$
TH2: $12{{x}^{2}}+2a=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{-a}{6}} \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 2 \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( \sqrt{-\dfrac{a}{6}} \right)\ge 0 \\
& {f}'\left( -\sqrt{-\dfrac{a}{6}} \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4\dfrac{a}{6}\sqrt{-\dfrac{a}{6}}+2a\sqrt{-\dfrac{a}{6}}-8\ge 0 \\
& 4\dfrac{a}{6}\sqrt{-\dfrac{a}{6}}-2a\sqrt{-\dfrac{a}{6}}-8\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a\sqrt{-\dfrac{a}{6}}\ge 6 (sai) \\
& a\ge -6 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $a\ge -6$
Vậy $a\ge -6$ thỏa ycbt với $a\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow a\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.
Cách 2:
$y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|$
${y}'=\dfrac{\left( {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right)\left( 4{{x}^{3}}+2ax-8 \right)}{\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|}=\dfrac{2x\left( {{x}^{3}}+ax-8 \right)\left( 2{{x}^{3}}+ax-4 \right)}{\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|}$
Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|$ có đúng ba điểm cực trị $\Rightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có đúng 3 nghiệm bội lẻ.
Vì $x=0$ không là nghiệm của các phương trình ${{x}^{3}}+ax-8=0$ và $2{{x}^{3}}+ax-4=0$
Khi $x\ne 0$
Ta có ${{x}^{3}}+ax-8=0\Rightarrow a=\dfrac{8-{{x}^{3}}}{x}=g\left( x \right)$
${g}'\left( x \right)=\dfrac{-8-2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{4}$
Ta có $2{{x}^{3}}+ax-4=0\Rightarrow a=\dfrac{4-2{{x}^{3}}}{x}=h\left( x \right)$
${h}'\left( x \right)=\dfrac{-4-4{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=-1$.

Yêu cầu bài toán $\Rightarrow a\ge -6$ với $a\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow a\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$.