Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình $z^2+\sqrt{3} z+a^2-2 a=0$ có nghiệm phức $z_0$ thỏa $\left|z_0\right|=\sqrt{3}$.
A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Phương trình $z^2+\sqrt{3} z+a^2-2 a=0(*)$ có $\Delta=-4 a^2+8 a+3$.
Xét 2 trường hợp:
TH1. $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow-4 a^2+8 a+3 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{7}}{2} \leq a \leq \dfrac{2+\sqrt{7}}{2}$ (1).
Khi đó, phương trình (*) có nghiệm $z_0$ thì $z_0 \in \mathbb{R}$.
Theo đề bài: $\left|z_0\right|=\sqrt{3} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=\sqrt{3} \\ z_0=-\sqrt{3}\end{array}\right.$.
$* z_0=-\sqrt{3}$, thay vào phương trình $\left(^*\right)$ ta được $a^2-2 a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0 \\ a=2\end{array}\right.$.
${ }^* z_0=\sqrt{3}$, thay vào phương trình $\left({ }^*\right.$ ) ta được $a^2-2 a+6=0$ (vô nghiệm).
Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện (1) suy ra $a=2$.
TH2. $\Delta<0 \Leftrightarrow-4 a^2+8 a+3<0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a<\dfrac{2-\sqrt{7}}{2} \\ a>\dfrac{2+\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.$ (2).
Khi đó, phương trình $\left({ }^*\right)$ có nghiệm phức $z_0$ thì $\bar{z}_0$ cũng là một nghiệm của phương trình $\left({ }^*\right)$.
Ta có $z_0 \cdot \bar{z}_0=a^2-2 a \Leftrightarrow\left|z_0\right|^2=a^2-2 a \Leftrightarrow a^2-2 a-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-1 \\ a=3\end{array}\right.$.
Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện (2) suy ra $a=3$.
Vậy có 2 giá trị $a$ dương thỏa mãn là $a=2 ; a=3$.
Xét 2 trường hợp:
TH1. $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow-4 a^2+8 a+3 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{7}}{2} \leq a \leq \dfrac{2+\sqrt{7}}{2}$ (1).
Khi đó, phương trình (*) có nghiệm $z_0$ thì $z_0 \in \mathbb{R}$.
Theo đề bài: $\left|z_0\right|=\sqrt{3} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=\sqrt{3} \\ z_0=-\sqrt{3}\end{array}\right.$.
$* z_0=-\sqrt{3}$, thay vào phương trình $\left(^*\right)$ ta được $a^2-2 a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0 \\ a=2\end{array}\right.$.
${ }^* z_0=\sqrt{3}$, thay vào phương trình $\left({ }^*\right.$ ) ta được $a^2-2 a+6=0$ (vô nghiệm).
Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện (1) suy ra $a=2$.
TH2. $\Delta<0 \Leftrightarrow-4 a^2+8 a+3<0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a<\dfrac{2-\sqrt{7}}{2} \\ a>\dfrac{2+\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.$ (2).
Khi đó, phương trình $\left({ }^*\right)$ có nghiệm phức $z_0$ thì $\bar{z}_0$ cũng là một nghiệm của phương trình $\left({ }^*\right)$.
Ta có $z_0 \cdot \bar{z}_0=a^2-2 a \Leftrightarrow\left|z_0\right|^2=a^2-2 a \Leftrightarrow a^2-2 a-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-1 \\ a=3\end{array}\right.$.
Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện (2) suy ra $a=3$.
Vậy có 2 giá trị $a$ dương thỏa mãn là $a=2 ; a=3$.
Đáp án D.