Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để hàm số...

The Knowledge · 22/2/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 3) x + 2018

có hai điểm cực trị

x_{1}, x_{2}

sao cho biểu thức

P = | x_{1} (x_{2} - 2) - 2 (x_{2} + 1) |

đạt giá trị lớn nhất?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4

Ta có:

y^{'} = x^{2} - 2 x + m^{2} - 3

Hàm số có hai điểm cực trị

\Leftrightarrow y^{'} = 0

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ^{'} = 4 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2

.
Khi đó gọi

x_{1}, x_{2}

là hai điểm cực trị. Theo định lí Viet ta có:

{\begin{aligned} x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{1} x_{2} = m^{2} - 3 \end{aligned}

Ta có:

P = | x_{1} (x_{2} - 2) - 2 (x_{2} + 1) | = | x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) - 2 | = | m^{2} - 3 - 4 - 2 | = | m^{2} - 9 |

Với

- 2 < m < 2 \Rightarrow P = | 9 - m^{2} | \leq 9

. Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow m = 0

.
Vậy

m = 0

là giá trị cần tìm.

Đáp án C.