Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-3 \right)x+2018$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho biểu thức $P=\left| {{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}-2 \right)-2\left( {{x}_{2}}+1 \right) \right|$ đạt giá trị lớn nhất?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2x+{{m}^{2}}-3$
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=4-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -2<m<2$.
Khi đó gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai điểm cực trị. Theo định lí Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $P=\left| {{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}-2 \right)-2\left( {{x}_{2}}+1 \right) \right|=\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2 \right|=\left| {{m}^{2}}-3-4-2 \right|=\left| {{m}^{2}}-9 \right|$
Với $-2<m<2\Rightarrow P=\left| 9-{{m}^{2}} \right|\le 9$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m=0$.
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=4-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -2<m<2$.
Khi đó gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai điểm cực trị. Theo định lí Viet ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $P=\left| {{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}-2 \right)-2\left( {{x}_{2}}+1 \right) \right|=\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2 \right|=\left| {{m}^{2}}-3-4-2 \right|=\left| {{m}^{2}}-9 \right|$
Với $-2<m<2\Rightarrow P=\left| 9-{{m}^{2}} \right|\le 9$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m=0$.
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Đáp án C.