Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số $y=\dfrac{\cos...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số

y = \frac{\cos x + a \sin x + 1}{\cos x + 2}

có giá trị lớn nhất bằng 1?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Ta có

y = \frac{\cos x + a \sin x + 1}{\cos x + 2} \Leftrightarrow y (\cos x + 2) = \cos x + a \sin x + 1 \Leftrightarrow a \sin x + (1 - y) \cos x = 2 y - 1

.
Phương trình có nghiệm

\Leftrightarrow a^{2} + {(1 - y)}^{2} \geq {(2 y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2} - 2 y - a^{2} \leq 0

\Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3} \leq y \leq \frac{1 + \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3}

.
Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{1 + 3 a^{2}}}{3} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{1 + 3 a^{2}} = 2 \Leftrightarrow 1 + 3 a^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 1 \\ a = - 1 \end{aligned}

.

Đáp án C.