Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số $y=\dfrac{\cos x+a\sin x+1}{\cos x+2}$ có giá trị lớn nhất bằng 1?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Ta có $y=\dfrac{\cos x+a\sin x+1}{\cos x+2}\Leftrightarrow y(\cos x+2)=\cos x+a\sin x+1\Leftrightarrow a\sin x+(1-y)\cos x=2y-1$.
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(1-y)}^{2}}\ge {{(2y-1)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-2y-{{a}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}\le y\le \dfrac{1+\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}=1\Leftrightarrow \sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}=2\Leftrightarrow 1+3{{\text{a}}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(1-y)}^{2}}\ge {{(2y-1)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-2y-{{a}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}\le y\le \dfrac{1+\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}}{3}=1\Leftrightarrow \sqrt{1+3{{\text{a}}^{2}}}=2\Leftrightarrow 1+3{{\text{a}}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.