Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số $(x ; y)$ thuộc đoạn $[1 ; 2020]$ thỏa mãn $y$ là số nguyên và $x+\ln x=y+\mathrm{e}^y$ ?
A. 2020 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 2021 .
A. 2020 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 2021 .
Xét hàm số $f(t)=t+\mathrm{e}^t \Rightarrow f^{\prime}(t)=1+\mathrm{e}^t>0, \forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}(1)$.
Theo đề ra: $x+\ln x=y+\mathrm{e}^y \Leftrightarrow f(\ln x)=f(y)(2)$.
Từ $(1),(2)$ suy ra $\ln x=y \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^y$.Để $1 \leq x \leq 2020$ thì $1 \leq \mathrm{e}^y \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \ln 2020$. $\left\{\begin{array}{l}y \in \mathbb{Z} \\ 1 \leq y \leq 2020\end{array} \Rightarrow y \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}\right.$.
Với mỗi giá trị $y \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$ ta có một giá trị $x$ tương ứng thuộc đoạn $[1 ; 2020]$ Vậy có 7 cặp số $(x ; y)$ thỏa mãn.
Theo đề ra: $x+\ln x=y+\mathrm{e}^y \Leftrightarrow f(\ln x)=f(y)(2)$.
Từ $(1),(2)$ suy ra $\ln x=y \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^y$.Để $1 \leq x \leq 2020$ thì $1 \leq \mathrm{e}^y \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \ln 2020$. $\left\{\begin{array}{l}y \in \mathbb{Z} \\ 1 \leq y \leq 2020\end{array} \Rightarrow y \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}\right.$.
Với mỗi giá trị $y \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$ ta có một giá trị $x$ tương ứng thuộc đoạn $[1 ; 2020]$ Vậy có 7 cặp số $(x ; y)$ thỏa mãn.
Đáp án C.