Có bao nhiêu cặp số thực $(x; y)$ thỏa mãn đồng thời...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số thực

(x; y)

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

7^{| x^{2} - 4 x - 5 | - \log_{7} 5} = 5^{- (y + 2)}

và

2 | y - 2 | - | y | + y^{2} - y \leq 7

?
A. Vô số.
B. 2.
C. 1.
D. 3.

Xét phương trình:

2 | y - 2 | - | y | + y^{2} - y \leq 7 (1)

TH1:

y < 0, (1) \Leftrightarrow - 2 y + 4 + y + y^{2} - y - 7 \leq 0 \Leftrightarrow y^{2} - 2 y - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \Rightarrow - 1 \leq y < 0.

TH2:

0 \leq y < 2, (1) \Leftrightarrow - 2 y + 4 - y + y^{2} - y - 7 \leq 0 \Leftrightarrow y^{2} - 4 y - 3 \leq 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt{7} \leq y \leq 2 + \sqrt{7} \Rightarrow 0 \leq y < 2.

TH3:

y \geq 2, (1) \Leftrightarrow 2 y - 4 - y + y^{2} - y - 7 \leq 0 \Leftrightarrow y^{2} - 11 \leq 0 \Leftrightarrow - \sqrt{11} \leq y \leq \sqrt{11} \Rightarrow 2 \leq y \leq \sqrt{11} .

Vậy nghiệm của (1) là

- 1 \leq y \leq \sqrt{11}

.
Ta có

7^{| x^{2} - 4 x - 5 | - \log_{7} 5} = 5^{- (y + 2)} \Leftrightarrow 7^{| x^{2} - 4 x - 5 |} {.5}^{- 1} = 5^{- (y + 2)} \Leftrightarrow 7^{| x^{2} - 4 x - 5 |} = 5^{- (y + 1)} (*)

.
Do

y \geq - 1 \Rightarrow - (y + 1) \leq 0 \Rightarrow 5^{- (y + 1)} \leq 1, 7^{| x^{2} - 4 x - 5 |} \geq 7^{0} = 1

nên (*) xảy ra khi

{\begin{aligned} | x^{2} - 4 x - 5 | = 0 \\ - (y + 1) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} x = 5 \\ y = - 1 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} x = - 1 \\ y = - 1 \end{aligned} \end{aligned}

.
Vậy có 2 cặp số thực

(x; y)

thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án B.

Có bao nhiêu cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời...