Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số thực $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ${{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|-{{\log }_{7}}5}}={{5}^{-\left( y+2 \right)}}$ và $2\left| y-2 \right|-\left| y \right|+{{y}^{2}}-y\le 7$ ?
A. Vô số.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
A. Vô số.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Xét phương trình: $2\left| y-2 \right|-\left| y \right|+{{y}^{2}}-y\le 7\ \ \ \left( 1 \right)$
TH1: $y<0,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow -2y+4+y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y-3\le 0\Leftrightarrow -1\le y\le 3\Rightarrow -1\le y<0.$
TH2: $0\le y<2,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow -2y+4-y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y-3\le 0\Leftrightarrow 2-\sqrt{7}\le y\le 2+\sqrt{7}\Rightarrow 0\le y<2.$
TH3: $y\ge 2,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow 2y-4-y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-11\le 0\Leftrightarrow -\sqrt{11}\le y\le \sqrt{11}\Rightarrow 2\le y\le \sqrt{11}.$
Vậy nghiệm của (1) là $-1\le y\le \sqrt{11}$.
Ta có ${{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|-{{\log }_{7}}5}}={{5}^{-\left( y+2 \right)}}\Leftrightarrow {{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}{{.5}^{-1}}={{5}^{-\left( y+2 \right)}}\Leftrightarrow {{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}={{5}^{-\left( y+1 \right)}}\ \ \ \left( * \right)$.
Do $y\ge -1\Rightarrow -\left( y+1 \right)\le 0\Rightarrow {{5}^{-\left( y+1 \right)}}\le 1,{{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}\ge {{7}^{0}}=1$ nên (*) xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|=0 \\
& -\left( y+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 cặp số thực $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
TH1: $y<0,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow -2y+4+y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y-3\le 0\Leftrightarrow -1\le y\le 3\Rightarrow -1\le y<0.$
TH2: $0\le y<2,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow -2y+4-y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y-3\le 0\Leftrightarrow 2-\sqrt{7}\le y\le 2+\sqrt{7}\Rightarrow 0\le y<2.$
TH3: $y\ge 2,\ \left( 1 \right)\Leftrightarrow 2y-4-y+{{y}^{2}}-y-7\le 0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-11\le 0\Leftrightarrow -\sqrt{11}\le y\le \sqrt{11}\Rightarrow 2\le y\le \sqrt{11}.$
Vậy nghiệm của (1) là $-1\le y\le \sqrt{11}$.
Ta có ${{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|-{{\log }_{7}}5}}={{5}^{-\left( y+2 \right)}}\Leftrightarrow {{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}{{.5}^{-1}}={{5}^{-\left( y+2 \right)}}\Leftrightarrow {{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}={{5}^{-\left( y+1 \right)}}\ \ \ \left( * \right)$.
Do $y\ge -1\Rightarrow -\left( y+1 \right)\le 0\Rightarrow {{5}^{-\left( y+1 \right)}}\le 1,{{7}^{\left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|}}\ge {{7}^{0}}=1$ nên (*) xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-4x-5 \right|=0 \\
& -\left( y+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 cặp số thực $\left( x;y \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.